Question

1．在正方形ABCD中，点P是边BC上一个动点，连结PA，PD，点M，N分别为BC，AP的中点，连结MN交直线PD于点E．
（1）如图1，当点P与点B重合时，△EPM的形状是等腰直角三角形；
（2）当点P在点M的左侧时，如图2．
①依题意补全图2；
②判断△EPM的形状，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由在正方形ABCD中，可得∠ABC=90°，AB=BC，又由点P与点B重合，点M，N分别为BC，AP的中点，易得BN=BM．即可判定△EPM的形状是：等腰直角三角形；
（2）①首先根据题意画出图形；
②首先在MC上截取MF，使MF=PM，连接AF，易得MN是△APF的中位线，证得∠1=∠2，易证得△ABF≌△DCP（SAS），则可得∠2=∠3，继而证得∠1=∠2，则可判定△EPM的形状是：等腰三角形．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵点M，N分别为BC，AP的中点，
∴当点P与点B重合时，BN=BM，
∴当点P与点B重合时，△EPM的形状是：等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形；

（2）①补全图形，如图1所示．

②△EPM的形状是等腰三角形．
证明：在MC上截取MF，使MF=PM，连接AF，
如图2所示：∵N是AP的中点，PM=MF，
∴MN是△APF的中位线．
∴MN∥AF．
∴∠1=∠2，
∵M是BC的中点，PM=MF，
∴BM+MF=CM+PM．
即BF=PC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=DC．
在△ABF和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠C}\\{BF=CP}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DCP（SAS）．
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3．
∴EP=EM．
∴△EPM是等腰三角形．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、等腰三角形的判定、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．