Question

16．如图，在矩形纸片ABCD中，AD=5，AB=3，点E为BC上一点，沿着AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D．
（1）当点E与点B的距离是多少时，四边形AEE'D是菱形？并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求菱形AEE'D的两条对角线的长．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质得到AE∥DE′，AE=DE′，则由此判定四边形AEE′D是平行四边形；然后根据菱形的性质求得AE=AD=5，根据勾股定理即可求得BE；
（2）根据勾股定理，可得答案．

解答 解：（1）当BE=4时，四边形AEE'D是菱形．
理由：由△ABE平移至△DCE'的位置，可知
AD∥EE'且AD=EE'．
∴四边形AEE'D是平行四边形．
∵四边形AEE'D是菱形，
∴AE=AD=5，
∵AB=3，∠B=90°，
∴BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=4．
∴当BE=4时，四边形AEE'D是菱形．
（2）∵BC=AD=5，DC=AB=3，BE=4，

∴CE=1，BE'=9．
在Rt△DCE中，$DE=\sqrt{{3^2}+{1^2}}=\sqrt{10}$．
在Rt△ABE'中，$AE'=\sqrt{{3^2}+{9^2}}=3\sqrt{10}$．

点评 本题考查了菱形的性质、图形的剪拼以及平移的性质．通过解答该题，使学生学会能够灵活运用菱形、勾股定理知识解决有关问题．