Question

20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为AC上一点，BD延长线与⊙O过点A的切线相交于点E，AE=AD．
（1）判断BE是否是∠ABC的平分线，并说明理由；
（2）若AB=10，AD=5，求AC长．

Answer 1

分析 （1）结论：BE是∠ABC的角平分线．由∠E+∠ABE=90°，∠CDB+∠DBC=90°，只要证明∠E=∠CDB即可解决问题．
（2）由△CDB∽△AEB，得$\frac{AE}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$，设CD=x，BC=2x，则CA=CD+AD=x+5，在Rt△ACB中，由AC²+BC²=AB²，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）结论：BE是∠ABC的角平分线．
理由：∵AD=AE，
∴∠E=∠ADE，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠E=∠CDB，
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°，
∴∠CDB+∠CBD=90°，
∵AE是切线，
∴AE⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∴∠E+∠ABE=90°，
∴∠CBD=∠EBA，
∴BE是∠ABC的平分线．

（2）∵AE=AD，AD=5，
∴AE=AD=5，
∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE，
∴△CDB∽△AEB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$，设CD=x，BC=2x，则CA=CD+AD=x+5，
在Rt△ACB中，∵AC²+BC²=AB²，
∴（x+5）²+（2x）²=10²，
解得x=3或-5（舍弃），
∴AC=5+3=8．

点评 本题从切线的性质、相似三角形判定和性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会理由参数，用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．