Question

10．有一组数：a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$，…，a_n=$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$
（1）a₂₀₁₅=2．
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅的值．

Answer 1

分析 （1）计算出a₁、a₂、a₃、a₄的值得出这组数每3个数为一周期，据此解答即可；
（2）由（1）知，a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅中共有671个（a₁+a₂+a₃）+a₂₀₁₄+a₂₀₁₅，列式计算可得．

解答 解：（1）∵a₁=$\frac{1}{2}$，
a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，
a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-2}$=-1，
a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，
∴这组数每3个数为一周期，
∵2015÷3=671…2，
∴a₂₀₁₅=a₂=2，
故答案为：2；

（2）a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅=（$\frac{1}{2}$+2-1）×671+$\frac{1}{2}$+2=1009．

点评 本题主要考查数字的变化规律，根据a₁、a₂、a₃、a₄的值得出这组数每3个数为一周期是解题的关键．