Question

20．如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，DM⊥AB交BA的延长线于M，连接DA，
（1）求$\frac{AB+BC}{BM}$的值；
（2）求$\frac{BC-BA}{AM}$的值．

Answer 1

分析 （1）延长CD交BA的延长线于点F，证△BDF≌△BDC得BC=BF、CD=FD，由DM⊥AB知DM∥AC，进而知AM=$\frac{1}{2}$AF，设AB=x，分别表示出BC、AM的长，代入计算即可；
（2）根据（1）中AB、BC、AM的长代入计算即可．

解答 解：如图，延长CD交BA的延长线于点F，

（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，
∴∠FBD=∠CBD，
∵CD⊥BE，
∴∠BDF=∠BDC=90°，
在△BDF和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBD=∠CBD}\\{BD=BD}\\{∠BDF=∠BDC}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△BDC（ASA），
∴BF=BC，DF=DC，
设AB=x，
∴BC=BF=$\sqrt{2}$x，AF=BF-BA=（$\sqrt{2}$-1）x，
又∵∠BAC=90°，DM⊥AB，
∴DM∥AC，
∵DF=DC，
∴AM=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}x$
故$\frac{AB+BC}{BM}$=$\frac{AB+BC}{AB+AM}$=$\frac{x+\sqrt{2}x}{x+\frac{\sqrt{2}-1}{2}x}$=2；
（2）由（1）知AB=x，BC=$\sqrt{2}x$，AM=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}x$，
故$\frac{BC-BA}{AM}$=$\frac{\sqrt{2}x-x}{\frac{\sqrt{2}-1}{2}x}$=2．

点评 本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形的中位线定理，构建全等三角形并表示出各线段的长是解题关键．