Question

11．如图，等边△ABC，D、E分别在AB、AC边上，且AD=CE，G为DE中点，FG⊥DE交BC于F，求证：CF=AE．

Answer 1

分析 在BC上截取CM=AE，即可证明△ADE≌△CED，然后证明△BDM≌△△CME，则DM=DE，即M在DE的垂直平分线上，然后根据FG是DE的垂直平分线，即可证明M和F重合，即可证得．

解答 证明：在BC上截取CM=AE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
在△ADE和△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠C}\\{AE=CM}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CEM，
∴AD=BM．
又∵等边△ABC中，AB=BC，
∴BD=CM，
同理可证△BDM≌△△CME，
∴DM=ME，
∴M在DE的垂直平分线上．
又∵G为DE中点，FG⊥DE交BC于F，即FG是线段DE的垂直平分线，
∴F和M重合，
∴CF=AE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，以及线段的垂直平分线的性质，理解同一法证明的思路是本题的关键．