Question

6．如图，?ABCD中，点E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线与F点，连接AC，DE⊥AC，垂足为G点，连接GB．
求证：BG=AD．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，得出∠ADE=∠F，由AAS证明△ADE≌△BFE，得出BF=AD，因此BF=BC，证出∠CGF=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出BG=$\frac{1}{2}$CF=BC，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADE=∠F，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△ADE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠F}&{\;}\\{∠AED=∠BEF}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BFE（AAS），
∴BF=AD，
∴BF=BC，
∵DE⊥AC，
∴∠CGF=90°，
∴BG=$\frac{1}{2}$CF=BC，
∴BG=AD．
∴AB∥DF，

点评 此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．