Question

11．如图，四边形ABCD与四边形CEFG是两个正方形，边长分别为a、b．其中B、C、E在一条直线上，G在线段CD上．三角形AGE的面积为S．
（1）①当a=5，b=3时，求S的值；
②当a=7，b=3时，求S的值；
（2）从以上结果中，请你猜想S与a、b中的哪个量有关？用字母a，b表示S，并对你的猜想进行证明．

Answer 1

分析 （1）①根据S_△AEG=S_{正方形ABCD}+S_{正方形ECGF}-S_△ABE-S_△ADG-S_△EFG即可解决问题．
②方法同上．
（2）结论S=$\frac{1}{2}$b²．根据S_△AEG=S_{正方形ABCD}+S_{正方形ECGF}-S_△ABE-S_△ADG-S_△EFG即可证明．

解答 解：（1）①∵四边形ABCD与四边形CEFG是两个正方形，AB=5，EC=3，
∴DG=CD-CG=5-3=2，
∴S_△AEG=S_{正方形ABCD}+S_{正方形ECGF}-S_△ABE-S_△ADG-S_△EFG
=25+9-$\frac{1}{2}$×8×5-$\frac{1}{2}$×5×2-$\frac{1}{2}$×3×3=4.5，
②）①∵四边形ABCD与四边形CEFG是两个正方形，AB=7，EC=3，
∴DG=CD-CG=7-3=4，
∴S_△AEG=S_{正方形ABCD}+S_{正方形ECGF}-S_△ABE-S_△ADG-S_△EFG
=49+9-$\frac{1}{2}$×10×7-$\frac{1}{2}$×7×4-$\frac{1}{2}$×3×3=4.5．

（2）结论S=$\frac{1}{2}$b²．
证明：∵S_△AEG=S_{正方形ABCD}+S_{正方形ECGF}-S_△ABE-S_△ADG-S_△EFG
=a²+b²-$\frac{1}{2}$（a+b）•a-$\frac{1}{2}$•a（a-b）-$\frac{1}{2}$b²
=a²+b²-$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$ab-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$ab-$\frac{1}{2}$b²
=$\frac{1}{2}$b²．
∴S=$\frac{1}{2}$b²．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，注意善于发现规律，利用规律解决问题，善于中考常考题型．