Question

20．已知：如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（2，-2），B（6，-2），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位的速度移动，过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜4）．△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；
（2）若将△OPQ沿着直线PQ翻折得到△O′PQ，则当t=1时，点O′恰好在抛物线上．
（3）在（2）的条件下，记△O′PQ与四边形OABC重叠的面积为S，求S与t的函数关系式，并注明自变量的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，当点O′与A重合时，点O′恰好在抛物线上．求出OP的长即可；
（3）分四种情形讨论即可①：如图2中，当0＜t≤1时，重叠部分是△PQO′．②：如图3中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形PQAH．③：如图4中，当2＜t≤3时，重叠部分是△PEH．④：如图5中，当3＜t＜4时，重叠部分是△BEH．分别求解即可；

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
把O（0，0），A（2，-2），B（6，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}0=c\\ 4a+2b+c=-2\\ 36a+6b+c=-2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{6}\\ b=-\frac{4}{3}\\ c=0\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式为：$y=\frac{1}{6}{x^2}-\frac{4}{3}x$．

（2）如图1中，当点O′与A重合时，点O′恰好在抛物线上．

∵A（2，-2），
∴OA=2$\sqrt{2}$，OQ=$\sqrt{2}$，OP=2，
∴t=1时，点O′在抛物线上．
故答案为1．

（3）解：由题意A（2，-2），可知直线OA是第二四象限的角平分线，∠AOC=45°，PQ⊥OA，△OPQ与△O′PQ是全等的等腰直角三角形，OP=PO′=2t，PQ=$\sqrt{2}t$
①：如图2中，当0＜t≤1时，重叠部分是△PQO′．

s=t²（0＜t≤1）

②：如图3中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形PQAH．


s=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$t•$\sqrt{2}$t-$\frac{1}{2}$（2t-2）²=-t²+4t-2（1＜t≤2）

③：如图4中，当2＜t≤3时，重叠部分是△PEH．

s=$\frac{1}{2}$•2•2=2．


④：如图5中，当3＜t＜4时，重叠部分是△BEH．

s=$\frac{1}{2}$•（8-2t）²．
综上所述，s=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}}&{（0＜t≤1）}\\{-{t}^{2}+4t-2}&{（1＜t≤2）}\\{2}&{（2＜t≤3）}\\{\frac{1}{2}（8-2t）^{2}}&{（3＜t＜4）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、翻折变换、等腰直角三角形的性质、多边形等面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建分段函数解决问题，属于中考压轴题．