在△ABC中.∠ACB=90°.AC=BC.直线MN经过点C.且AD⊥MN于D.BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时①请说明△ADC≌△CEB的理由,②请说明DE=AD+BE的理由,(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时.DE.AD.BE具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系:DE=AD-BE(3)当直线MN绕点C旋转到图3� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时
①请说明△ADC≌△CEB的理由；
②请说明DE=AD+BE的理由；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系：DE=AD-BE
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系：DE=BE-AD．

分析（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；
②由①得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（2）结论：DE=AD-BE．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．
（3）结论：DE=BE-AD．证明方法类似．

解答解：（1）①证明：如图1中，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDA=∠BEC}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．

②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．

（2）结论：DE=AD-BE．
理由：如图2中，∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{∠ADC=∠BEC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．

（3）结论：DE=BE-AD．
理由如下：如图3中，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CED=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．
故答案为DE=AD-BE，DE=BE-AD．