Question

18．已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，A（0，6）、B（8，0），C点在x轴上，直线$y=\frac{1}{2}x+4$经过C点，且与y轴交于点E，折叠梯形ABCD，使点B与点E重合，折痕与x轴交于点F，交直线AB于点G，交y轴于点N．
（1）求tan∠OBE的值；
（2）求直线FG的解析式；
（3）在x轴上是否存在点K，使以B、E、K为顶点的三角形与△EFN相似？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接BE．根据直线方程求得点E的坐标，结合点B的坐标可求得线段OE、OB的长度，所以由正切函数的定义进行解答即可；
（2）如图2，连接EF，设OF为x，则EF=BF=8-x，利用勾股定理得到x的值，则F（5，0）．结合（1）的结论和折叠的性质易求点N的坐标，所以利用点F、N的坐标来求直线FG的方程；
（3）需要分类讨论：△NEF∽△BEK和△NEF∽△BKE两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求BK的长度，从而得到K的坐标．

解答 解（1）∵$y=\frac{1}{2}x+4$，
∴E（0，4），则OE=4
∵B（8，0），
∴OB=8，
在Rt△OBE中，$tan∠OBE=\frac{OE}{OB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$；

（2）如图2，连接EF，设OF为x，则EF=BF=8-x，
在Rt△OFE中，由勾股定理得：（8-x）²=4²+x²，
解得x=3．
则F（5，0）．
∵∠OBE=∠ONF，
∴$tan∠OBE=tan∠ONF=\frac{OF}{ON}=\frac{1}{2}$，
∴ON=6，
∴N（0，-6）．
设FG的解析式为y=kx+b（k≠0），将点F、N代入，得方程组$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{0=5k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴y=2x-6；

（3）∵NE=10，EF=5，NF=$3\sqrt{5}$，BE=$4\sqrt{5}$，∠OBE=∠ONF，如图3所示．
∴①当△NEF∽△BEK时，$\frac{NE}{BE}=\frac{NF}{BK}$，$\frac{10}{{4\sqrt{5}}}=\frac{{3\sqrt{5}}}{BK}$
∴BK=6，
∴K（2，0）；
②当△NEF∽△BKE时，$\frac{NE}{BK}=\frac{NF}{BE}$，$\frac{10}{BK}=\frac{{3\sqrt{5}}}{{4\sqrt{5}}}$
∴BK=$\frac{40}{3}$，
∴K（-$\frac{16}{3}$，0）．
综上所述，符合条件的点K的坐标是（2，0）或（-$\frac{16}{3}$，0）．

点评 本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质．解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解．