Question

3．阅读下列文字：
我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²．

请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a²+b²+c²的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，请利用所给的纸片拼出一个长方形，使它的面积为2a²+5ab+2b²，把拼出的图形画在方框内，并拼出的图形将多项式2a²+5ab+2b²分解因式．

Answer 1

分析 （1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
（2）利用（1）中所得到的结论，将a+b+c=11，ab+bc+ac=38作为整式代入即可求出．
（3）找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件．

解答 解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）²，
各小矩形部分的面积之和=a²+2ab+b²+2bc+2ac+c²，
故等式为（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．
（2）a²+b²+c² =（a+b+c）²-2ab-2ac-2bc
=11²-2×38
=45．
（3）如图所示：

故2a²+5ab+2b²=（2a+b）（a+2b）．

点评 本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．