Question

16．钓鱼岛自古以来就是中国的领土，如图，我国甲、乙两艘海岛执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往P处海域巡查的任务，并测得P处位于A处北偏东53.5°方向上、在B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．
（参考数据sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75，$\sqrt{2}$≈1.4）
（1）求P到A，B两船所在直线（即：直线AB）的距离；
（2）若执法船A，B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前进，试通过计算判断哪艘船先到达P处．

Answer 1

分析 （1）作PC⊥AB于点C，由题意得：∠PAC=36.5°，∠PBC=45°，设PC的长为x海里，分别在Rt△ACP中，和在Rt△BCP中，用x表示出AC和BC，然后根据AC+BC=140海里列出方程，解方程即可；
（2）先解Rt△ACP，求出AP，解Rt△BCP，求出BP，再分别求出甲、乙两船到达P处的时间，比较即可确定答案．

解答 解：（1）如图，作PC⊥AB于点C，
由题意得：∠PAC=90°-53.5°=36.5°，∠PBC=90°-45°=45°，
设PC的长为x海里．
∵在Rt△ACP中，tan∠PAC=$\frac{PC}{AC}$，
∴AC=$\frac{PC}{tan∠PAC}$≈$\frac{x}{0.75}$=$\frac{4}{3}$x；
∵在Rt△BCP中，tan∠PBC=$\frac{PC}{BC}$，
∴BC=$\frac{PC}{tan∠PBC}$=$\frac{x}{1}$=x；
∵AC+BC=AB，
∴$\frac{4}{3}$x+x=140，
∴x=60．
故P到A，B两船所在直线（即：直线AB）的距离为60海里；

（2）∵在Rt△ACP中，sin∠PAC=$\frac{PC}{AP}$，
∴AP=$\frac{PC}{sin∠PAC}$≈$\frac{30}{0.6}$=50，
∵在Rt△BCP中，sin∠PBC=$\frac{PC}{BP}$，
∴BP=$\frac{PC}{sin∠PBC}$=$\frac{30}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=30$\sqrt{2}$≈42，
∵执法船A，B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前进，
∴甲船到达P处所用时间为：50÷40=1.25（小时），
乙船到达P处所用时间为：42÷30=1.4（小时），
∵1.25＜1.4，
∴甲船先到达P处．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键在于准确作出辅助线构造直角三角形，进而利用三角函数定义求解．