Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．则下列等式正确的个数有（　　）
①AC•BC=AB•CD；②AC²-AD²=BC²-BD²；③CD²=AD•BD；④$\frac{1}{{A{C^2}}}+\frac{1}{{B{C^2}}}=\frac{1}{{A{B^2}}}$．

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 如图，由三角形的面积公式证明AC•BC=AB•CD成立，得到①成立；由勾股定理、射影定理分别证明AC²-AD²=BC²-BD²、CD²=AD•BD成立，得到②③成立，即可解决问题．

解答 解：如图，∵△ABC为直角三角形，且CD⊥AB，
∴$\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}AB•CD$，即AC•BC=AB•CD．
故选项①正确；由勾股定理得：
AC²-AD²=CD²，BC²-BD²=CD²，
∴AC²-AD²=BC²-BD²，
故选项②正确；由射影定理得：
CD²=AD•BD，故选项③正确，
综上所述，正确选项有三个．
故选B．

点评 该题主要考查了直角三角形中的射影定理、勾股定理及其应用问题；牢固掌握射影定理、勾股定理等几何知识点是灵活运用、解题的基础和关键．