Question

12．如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．
（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；
（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．

Answer 1

分析 （1）先证明△ADE∽△FBE，利用相似的性质得BF；
（2）①利用相似三角形的判定，证明Rt△F′HN∽Rt△F′EG，利用相似三角形的性质，求得HN，利用三角形的面积公式得结果；②利用相似三角形的判定，证明Rt△F′HN∽Rt△F′EG，利用相似三角形的性质，求得HN，利用三角形的面积公式得结果．

解答 解：（1）∵BE=AB=15，
在直角△BCE中，
CE=$\sqrt{{BE}^{2}{-BC}^{2}}$=$\sqrt{{15}^{2}{-12}^{2}}$=9
∴DE=6，
∵∠EAD+∠BAE=90°，∠BAE=∠BEF，
∴∠EAD+∠BEF=90°，
∵∠BEF+∠F=90°，
∴∠EAD=∠F
∵∠ADE=∠FBE
∴△ADE∽△FBE，
∴$\frac{AD}{BF}=\frac{DE}{BE}$，
$\frac{12}{BF}=\frac{6}{15}$，
∴BF=30；

（2）①如图1，将矩形ABCD和直角△FBE以CD为轴翻折，则△AMH即为未包裹住的面积，
∵Rt△F′HN∽Rt△F′EG，
∴$\frac{F′N}{F′G}$=$\frac{HN}{EG}$，即$\frac{6}{30}=\frac{HN}{15}$，
解得：HN=3，
∴S_△AMH=$\frac{1}{2}$•AM•MH=$\frac{1}{2}$×12×24=144；
②如图2，将矩形ABCD和Rt△ECF以AD为轴翻折，
∵Rt△GBE∽Rt△GB′C′，
∴$\frac{GB}{GB′}=\frac{EB}{B′C′}$，即$\frac{30-GB′}{GB′}=\frac{3}{12}$，解得：GB′=24，
∴S_△B′C′G=$\frac{1}{2}$•B′C′•B′G=$\frac{1}{2}$×12×24=144，
∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质及翻折变化，以动态（平移和旋转）的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和直角三角形是解答此题的关键．