Question

7．如图，已知：CD=AB，∠BAD=∠BDA，AE是△ABD的中线，求证：AC=2AE．

Answer 1

分析 延长AE至F，使AE=EF，连接BF，于是证得△AED≌△FEB，根据全等三角形的性质得到BF=DA，∠FBE=∠ADE，推出∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC，证得△ABF≌△CDA，于是得到AC=AF，等量代换即可得到结论．

解答 证明：延长AE至F，使AE=EF，连接BF，
在△ADE与△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}\\{∠AED=∠BEF}\\{DE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△FEB，
∴BF=DA，∠FBE=∠ADE，
∵∠ABF=∠ABD+∠FBE，
∴∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC，
在△ABF与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠ABF=∠ADC}\\{BF=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDA，
∴AC=AF，
∵AF=2AE，
∴AC=2AE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．