Question

1．（1）已知方程x²+mx-21=0的两个根的平方和是58，求m的值；
（2）已知方程x²+2x+m=0的两个根的差的平方是16，求m的值；
（3）已知方程x²+3x+m=0的两个根的差是5，求m的值；
（4）已知方程x²+3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，求m的值．

Answer 1

分析 （1）设方程两根为a、b，根据根与系数的关系得到a+b=-m，ab=-21，由于a²+b²=58，利用完全平方公式变形得到（a+b）²-2ab=58，然后根据根的判别式确定满足条件的m的值；
（2）首先根据根与系数的关系得到两根的和与积，然后依据（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，代入即可得到一个关于m的方程，从而求解；
（3）由题意得x₁+x₂=-3，x₁-x₂=5，解方程即可得到结论；
（4）根据已知条件“方程x²+x+m=0的一个根是另一个根的2倍”，一元二次方程的根与系数的关系x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$求该方程的两个根即可，进而求出m的值．

解答 解：（1）设方程两根为a、b，
根据题意得a+b=-m，ab=-21，
∵a²+b²=58，
∴（a+b）²-2ab=58，
∴m²=16，解得m=4，
当m=4时，原方程化为x²+4x-21=0，△＞0，方程有实数解，
∴m的值为4；
（2）由题意知，
x₁+x₂=-2，x₁x₂=m，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4-4m=16，
∴m=3；
（3）由题意得x₁+x₂=-3，x₁-x₂=5，
解得：x₁=1，x₂=-4，
当x₁=1时，m=-4，
当x₂=-4时，m=4；
（4）根据题意得x₁+x₂=-3，
令x₁=x，
则x+2x=-3，
解得：x=-1，
将x=-1代入方程得出：（-1）²+3×（-1）+m=0，
解得：m=2．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．