Question

3．△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，经过点C的圆与边AB相切，且与直线BC，AC分别交于点E，F，则线段EF的取值范围是$\frac{12}{5}$≤EF≤$\frac{24}{7}$．

Answer 1

分析 如图，⊙O经过点C且与边AB相切，作OD⊥AB于D，根据切线的性质得OD为⊙O的半径，讨论：当E、F点都不与点C重合，证明EF为⊙O的直径，利用OC+OD≥CD（当点C、O、D共线时，取等号）得到当CD⊥AB时，EF最小，然后计算出此时CD的长得到EF的最小值为$\frac{12}{5}$；当F点与C点重合时，利用相似比求此时圆的半径，得到EF的最大值$\frac{24}{7}$，于是得到线段EF的取值范围．

解答 解：如图，⊙O经过点C且与边AB相切，作OD⊥AB于D，则OD为⊙O的半径，
当E、F点都不与点C重合，
∵∠ECF=90°，
∴EF为⊙O的直径，
∴OC+OD=EF，
而OC+OD≥CD（当点C、O、D共线时，取等号），
∴当CD⊥AB时，EF最小，
此时CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴EF的最小值为$\frac{12}{5}$，
当F点与C点重合时，EF最大，此时设圆的半径为r，则r：3=（4-r）：5，解得r=$\frac{12}{7}$，所有EF的最大值为$\frac{24}{7}$，
∴线段EF的取值范围为$\frac{12}{5}$≤EF≤$\frac{24}{7}$．
故答案为$\frac{12}{5}$≤EF≤$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．