Question

19．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN=$\frac{1}{3}$AC；
（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3$\sqrt{3}$时，求旋转角的大小并指明旋转方向．

Answer 1

分析 （1）连接BD，证明△ABD为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB，根据相似三角形的性质解答即可；
（2）分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可．

解答 （1）证明：如图1，连接BD，交AC于O，
在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∵DE⊥AB，
∴AE=EB，
∵AB∥DC，
∴$\frac{AM}{MC}$=$\frac{AE}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
同理，$\frac{CN}{AN}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=$\frac{1}{3}$AC；
（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，
∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，
∴∠EDF=60°，
当∠EDF顺时针旋转时，
由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，
DE=DF=$\sqrt{3}$，∠DEG=∠DFP=90°，
在△DEG和△DFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠PDF}\\{∠DEG=∠DFP}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△DFP，
∴DG=DP，
∴△DGP为等边三角形，
∴△DGP的面积=$\frac{\sqrt{3}}{4}$DG²=3$\sqrt{3}$，
解得，DG=2$\sqrt{3}$，
则cos∠EDG=$\frac{DE}{DG}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EDG=60°，
∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于3$\sqrt{3}$，
同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3$\sqrt{3}$，
综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是菱形的性质和旋转变换，掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等是解题的关键．