Question

5．如图．等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P为BC的中点，小明拿着含45°角的透明三角形，使45°角的顶点落在点P，且绕P旋转．
（1）如图①：当三角板的两边分别AB、AC交于E、F点时，试说明△BPE∽△CFP．
（2）将三角板绕点P旋转到图②，三角板两边分别交BA延长线和边AC于点E，F．连接EF，△BPE与△EFP是否相似？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠BAC=90°，AB=AC易得∠B=∠C=45°，利用三角形的内角和定理可得∠BPE+∠EPB=135°，同理可得∠BPE+∠CPF=135°，易得∠BPE=∠CPF，又因为∠B=∠C，由AA定理易得△BPE∽△CFP；
（2）由（1）中的结论△BPE∽△CFP，利用相似三角形的性质可得$\frac{BE}{CP}=\frac{PE}{FP}$，因为BP=CP，可得$\frac{BE}{BP}=\frac{PE}{FP}$，利用SAS定理可得△BPE与△EFP相似．

解答 （1）证明：如图①，∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠EPB=135°，
∵∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=135°，
∴∠BPE=∠CPF，
∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP；

（2）解：△BPE与△EFP相似，
理由：如图②，
∵△BPE∽△CFP，
∴$\frac{BE}{CP}=\frac{PE}{FP}$，
∵CP=BP，
∴$\frac{BE}{BP}=\frac{PE}{FP}$，
∵∠B=∠EPF=45°，
∴△BPE∽△EFP．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质及判定，利用三角形的内角和定理发现角的关系是解答此题的关键．