Question

11．已知抛物线y=x²+（m+1）x-$\frac{1}{4}$m²-1（m为实数）．
（1）若该抛物线的对称轴在y轴的右侧，求m的取值范围；
（2）设A、B两点分别是该抛物线与x轴、y轴的交点，且OA=OB（O是坐标原点），求m的值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＞0，即可得出结果；
（2）求出抛物线与y轴的交点坐标，再由OA=OB，得出关于m的方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+（m+1）x-$\frac{1}{4}$m²-1，
对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-（m+1）＞0，
∴m＜-1，
∴m＜-1；
（2）∵△=b²-4ac=（m+1）²+4×（$\frac{1}{4}$m²+1）=2m²+2m+5=2（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{2}$＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，如图所示：
交点横坐标为x₁，₂=$\frac{-b±\sqrt{△}}{2}$，
与y轴交点为（0，-$\frac{1}{4}$m²-1），
∴OB=$\frac{1}{4}$m²+1，
∵OA=OB，
∴|x₁，₂|=$\frac{1}{4}$m²+1，
把x=$\frac{1}{4}$m²+1代入得y=0，
即（$\frac{1}{4}$m²+1）²+（m+1）-$\frac{1}{4}$m²-1，
把x=$\frac{1}{4}$m²+1代入得y=0，
即（$\frac{1}{4}$m²+1）²+（m+1）（$\frac{1}{4}$m²+1）-$\frac{1}{4}$m²-1=0，
解得：m=-2；把x=-$\frac{1}{4}$m²-1代入得y=0，
即y=（-$\frac{1}{4}$m²-1）²+（m+1）（-$\frac{1}{4}$m²-1）-$\frac{1}{4}$m²-1=0，
解得：m=2±2$\sqrt{2}$；
综上所述：m=-2，或m=2+2$\sqrt{2}$，或m=2-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、解方程等知识；解答此题不仅要熟悉抛物线的性质，还要注意数形结合思想的应用，以便提高解题的效率．