Question

5．正方形ABCD中，AB=8，点P是CD上的一点，CE⊥BP垂足为E，EF⊥AE与边BC交于点F
（1）求证：△FCE∽△ABE；
（2）当△ABE的周长是△FCE周长2倍时，求CP的长．

Answer 1

分析 （1）根据余角的性质得到∠AEB=∠FEC，由正方形的性质得到∠ABC=∠BCD=90°，根据同角的余角相等得到∠ECF=∠BPC，由平行线的性质得到∠ABE=∠BPC，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{BE}{CE}=2$，通过△CPE∽△BCE，得到$\frac{CP}{BC}=\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，代入数据即可得到结论．

解答 （1）证明：∵CE⊥BP，EF⊥AE，
∴∠AEB+∠BEF=∠BEF+∠FEC，
∴∠AEB=∠FEC，
正方形ABCD中，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EPC+∠ECP=∠BCE+∠ECP=90°，
∴∠ECF=∠BPC，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BPC，
∴∠ABE=∠ECF，
∴△ABE∽△CEF；

（2）∵△ABE∽△CEF，△ABE的周长是△FCE周长2倍，
∴$\frac{BE}{CE}=2$，
∵∠CBE=∠ECP，∠BEC=∠CEP，
∴△CPE∽△BCE，
∴$\frac{CP}{BC}=\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC=AB=8，
∴CP=4．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．