Question

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD=3．
（1）求AD的长；
（2）求四边形AEDF的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

Answer 1

分析 （1）首先证明∠CAD=30°，易知AD=2CD即可解决问题；
（2）首先证明四边形AEDF是菱形，求出ED即可解决问题；

解答 解：（1）∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°，
在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，
∴AD=2CD=6．

（2）∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠EAD=∠ADF=∠DAF，
∴AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
在Rt△CED中，∵∠CDE=∠B=30°，
∴DE=$\frac{CD}{cos30°}$=2$\sqrt{3}$，
∴四边形AEDF的周长为8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的判定和性质、平行线的性质、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．