Question

5．一等腰梯形中，高为2，下底为4，下底的底角正弦值为$\frac{4}{5}$，那么它的上底和腰长分别为（　　）

• A． 2，$\frac{5}{2}$
• B． 1，$\frac{5}{2}$
• C． 1，2
• D． 2，5

Answer 1

分析 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，则四边形AFED是矩形，先证明Rt△ABF≌Rt△DCE，再在Rt△DCE中，根据sinC=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{4}{5}$，求出DC，再根据勾股定理求出CE、BF即可解决问题．

解答 解：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，则四边形AFED是矩形，
，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴BF=CE，
在Rt△DCE中，∵sinC=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{2}{DC}$=$\frac{4}{5}$，
∴DC=$\frac{5}{2}$，
∴EC=BF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-{2}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴AD=EF=BC-2EC=4-2×$\frac{3}{2}$=1．
故选B．

点评 本题考查等腰梯形的性质、解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是作双高，把四边形问题转化为三角形问题，属于中考常考题型．