Question

7．已知：如图1，P为正方形ABCD对角线AC上任意一点，连结DP．过点P作PE⊥PD交BC于点E．
（1）求证：PD=PE；
（2）如图2，延长DP交AB于点F，连结EF，求证：EF=AF+CE；
（3）如图3，作∠FEB的平分线EG交DF的延长线于点G，连结BG，求证：BG=$\sqrt{2}$EC．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接PB，利用△APB≌△APD推出PB=PD，再证明PB=PE即可解决问题．
（2）如图2中，延长BC到M，使得CM=AF，易知△DCM≌△DAF，只要证明△DEF≌△DEM即可解决问题．
（3）如图3中，作GM⊥CB于M，GN⊥AB于N，GQ⊥EF于Q，连接PB、BD、DE，先证明四边形GMBN是正方形，再证明△GDB∽△EDC即可解决问题．

解答 证明：（1）如图1中，连接PB．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°
在△APB和△APD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{∠PAB=∠PAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△APD，
∴PB=PD，∠ADP=∠ABP，
∴∠PBC=∠PDC，'
∵∠DPE=∠BCD=90°，
∴∠PEC+∠PDC=180°，∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PEB=∠PDC，
∴∠PBC=∠PEB，
∴PB=PE，
∴PD=PE．

（2）如图2中，延长BC到M，使得CM=AF，则△DCM≌△DAF，

∴DF=DM，∠ADF=∠CDM，．
∵∠DPE=90°，PD=PE，
∴∠PDE=45°，∠ADF+∠EDC=45°，
∴∠EDC+∠CDM=45°，
∴∠FDE=∠EDM=45°，
在△DEF和△DEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{∠FDE=∠EDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△DEM，
∴EF=EM=EC+CM=EC+AF．

（3）如图3中，作GM⊥CB于M，GN⊥AB于N，GQ⊥EF于Q，连接PB、BD、DE．

∵∠FBE+∠FPE=180°，
∴B、E、P、F四点共圆，
∴∠PFE=∠PBE=∠PDC=∠AFD，
∵∠GFQ=∠PFE，∠GFN=∠AFD，
∴∠GFQ=∠GFN，
∴GQ=GN，
∵GM⊥ME，GQ⊥EQ，∠GEM=∠GEQ，
∴GM=GQ=NG，则四边形GMBN是正方形，
∴∠GBN=∠ABD=45°，
∴∠GBD=90°，
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD
∵∠PBG+∠PBD=90°，∠BGD+∠BDG=90°，
∴∠PGB=∠PBG，
∴PB=PG=PD=PE，
∴△GED是Rt△，
∴∠EGD=∠EDG=45°，
∵DG=$\sqrt{2}$DE
∵BD=$\sqrt{2}$CD，
∴$\frac{DG}{DE}$=$\frac{DB}{DC}$=$\sqrt{2}$，
∵∠GDE=∠BDC=45°，
∴∠GDB=∠EDC，
∴△GDB∽△EDC，
∴$\frac{BG}{EC}$=$\frac{DG}{DE}$=$\sqrt{2}$，
∴BG=$\sqrt{2}$EC．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，灵活应用相似三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．