Question

19．某校九年级（2）班要举行联欢会，潇潇拿着同学们交给她的一叠正方形手工纸直发愣：为了联欢会的圆满成功，同学们需要一批圆锥形的帽子，现已知正方形手工纸的边长为40cm，若要求圆锥的侧面积最大，请你帮她完成以下问题：
（1）试设计两种不同的截法（要求每一种截法尽可能减少浪费的材料），并把截法在图上表示出来；
（2）分别求出（1）中两种不同截法所得的圆锥底面的半径和高线长；
（3）若要求帽子的侧面积最大，应该选哪一种方案？

Answer 1

分析 （1）圆锥体的侧面展开图为扇形，然后在正方形中截出一个扇形即可；
（2）图甲：根据扇形的弧长公式求得扇形的周长，然后利用圆的周长公式可求得底面半径，最后利用勾股定理求得圆锥的高；图乙：先求得∠DFO=30°，然后可求得∠EOF=60°，接下来根据扇形的弧长公式求得扇形的周长，然后利用圆的周长公式可求得底面半径，最后利用勾股定理求得圆锥的高；
（3）依据扇形的面积公式求得扇形的面积，然后比较大小即可．

解答 解：（1）如图甲、乙所示．

（2）方案一：如图甲：以A为圆心，AB为半径作四分之一圆，设圆锥的底面半径为r₁，高为h₁，则有$\frac{90}{180}π×40=2×π×{r_1}$，
解得：r₁=10．
由勾股定理得：${h_1}=\sqrt{{{40}^2}-{{10}^2}}=10\sqrt{15}$；
方案二：如图乙：以AD中点0为圆心，正方形的边长为半径截取扇形QEF．
在Rt△ODF中，OD=$\frac{1}{2}$OF，所以∠DFC=30°．
∴∠DOF=∠AOE=60°．
∴∠EOF=60°．
∴L=$\frac{60×π×40}{180}=\frac{40π}{3}$．
设圆锥底面半径为r₂，高为h₂，则有2×π×r₂=$\frac{40π}{3}$．
解得：r₂=$\frac{20}{3}$．
由勾股定理得：${h_2}=\sqrt{{{40}^2}-{{（\frac{20}{3}）}^2}}=\frac{20}{3}\sqrt{35}$．
∴方案一围成的圆锥底面半径为10，高为$10\sqrt{15}$；方案二围成的圆锥底面半径为$\frac{20}{3}$；高为$\frac{20}{3}\sqrt{35}$．
（3）方案一：${S}_{侧}={S}_{扇}=\frac{90×π×4{0}^{2}}{360}$=400π．
方案二：${S}_{侧}={S}_{扇}=\frac{60×π×4{0}^{2}}{360}$=$\frac{800π}{3}$．
∵400$π＞\frac{800π}{3}$，
∴方案一所得的圆锥体的侧面积较大．
∴应选方案一．

点评 本题主要考查的是圆锥的计算，圆锥侧面展开图为扇形，底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长为扇形的半径，掌握圆锥体的侧面积公式、扇形的弧长公式是解题的关键．