Question

9．如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点H，AB=5，且tan∠EFC=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，那么AH的长为（　　）

• A． 5
• B． $5\sqrt{2}$
• C． 10
• D． $3\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根据线段中点的定义可得CE=DE，根据矩形的对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE=∠CFE，然后利用“角角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=AD，然后利用tan∠EFC求出BF，再利用勾股定理列式求出AF，再求出△ADH和△FBH相似，根据相似三角形对应边成比例求出$\frac{AH}{FH}$，再求解即可．

解答 解：∵E为CD的中点，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠CFE，
在△ADE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CFE}\\{∠AED=∠FEC}\\{CE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AE=EF，AD=CF，∴BF=BC+CF=AD+CF
∵tan∠EFC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴BF=10$\sqrt{2}$，
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（10\sqrt{2}）^{2}}$=15，
∵AD∥BC，
∴△ADH∽△FBH，
∴$\frac{AH}{FH}$=$\frac{AD}{BF}$=$\frac{5\sqrt{2}}{10\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴AH=$\frac{1}{1+2}$AF=$\frac{1}{3}$×15=5．
故选A．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．