Question

6．如图，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM、ON交于A、B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP²，且∠MON=60°．
（1）求∠APB的度数；
（2）若OP=4，连接AB并求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到$\frac{OB}{OP}=\frac{OP}{OA}$，由于∠BOP=∠AOP，得到△PBO∽△AOP，根据相似三角形的性质得到∠OBP=∠OPA，根据等量代换即可得到结论；
（2）如图，连接AB，过点A作AH⊥OB，根据OA×OB=OP²=16，由于sin∠AOH=$\frac{AH}{OA}$，得到AH=OAsin∠AOH，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）∵OA•OB=OP²，
∴$\frac{OB}{OP}=\frac{OP}{OA}$，
∵∠BOP=∠AOP，
∴△PBO∽△AOP，
∴∠OBP=∠OPA，
∵∠MON=60°，
∴∠BOP=30°，
∴∠OBP+∠BPO=180°-30°=150°
∴∠APB=∠BPO+∠APO=150°；

（2）如图，连接AB，过点A作AH⊥OB，
∵OP=4，
∴OA×OB=OP²=16，
在Rt△AOH中，∠AHO=90°，
∴sin∠AOH=$\frac{AH}{OA}$，
∴AH=OAsin∠AOH，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB×AH=$\frac{1}{2}$OB×OA×sin60°=$\frac{1}{2}$×OP²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，三角函数的定义，得到S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB×OA×sin60°是解题的关键．