Question

10．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿线段AB向点B方向运动，点Q从点D出发，以每秒3cm的速度沿线段DC向点C运动，已知动点P、Q同时出发，但个点P到达B点火点Q到达C点时，P、Q运动停止，设运动时间为t．
（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得PQ⊥AB？若存在，请求出t的值并说明理由；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥CD于M，则由题意四边形ABCM是矩形，在Rt△ADM中，利用勾股定理求出DM，根据CD=DM+CM=DM+AB计算即可；
（2）当BP=DQ时，四边形PBQD是平行四边形，可得10-2t=3t，推出t=2，此时BP=DQ=6，CQ=10，因为BQ=$\sqrt{B{C}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{0}^{2}}$=2$\sqrt{41}$，所以根据四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）计算即可；
（3）不存在．不妨设存在，列出方程求出时间t，再说明t不符合题意即可；

解答 解：（1）作AM⊥CD于M，则由题意四边形ABCM是矩形，

在Rt△ADM中，∵DM²=AD²-AM²，AD=10，AM=BC=8，
∴AM=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴CD=DM+CM=DM+AB=6+10=16．

（2）当四边形PBQD是平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图2中，由题意：BP=AB-AP=10-2t．DQ=3t，

当BP=DQ时，四边形PBQD是平行四边形，
∴10-2t=3t，
∴t=2，此时BP=DQ=6，CQ=10，
∴BQ=$\sqrt{B{C}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{0}^{2}}$=2$\sqrt{41}$，
∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=2（6+2$\sqrt{41}$）=12+4$\sqrt{41}$．

（3）不存在．理由如下：

作AM⊥CD于M，连接PQ．由题意AP=2t．DQ=3t，
由（1）可知DM=6，
∴MQ=3t-6，
若2t=3t-6，
解得t=6，
∵AB=10，
∴t≤$\frac{10}{2}$=5，
而t=6＞5，故t=6不符合题意，t不存在．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．