如图.抛物线过x轴上两点A.且与y轴交于点B．(1)求抛物线的解析式,(2)若动点P从点A出发.以每秒2个单位沿射线AC方向运动,同时.点Q从点B出发.以每秒1个单位沿射线BA方向运动.当点P到达点C处时.两点同时停止运动．问当t为何值时.△APQ∽△AOB?(3)若M为线段AB上一个动点.过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．①是否存在这样的点M.使得� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如图，抛物线过x轴上两点A（9，0），C（-3，0），且与y轴交于点B（0，-12）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点P到达点C处时，两点同时停止运动．问当t为何值时，△APQ∽△AOB？
（3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．
①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设二次函数解析式为交点式：y=a（x+3）（x-9）（a≠0）．然后把点B的交点坐标代入来求a的值；
（2）利用相似三角形的对应边成比例得到：

AP

AO

=

AQ

AB

．然后把相关线段的长度代入即可求得t的值；
（3）①利用待定系数法求得直线AB的解析式为：y=

4

3

x-12．设点M的横坐标为x，则M（x，

4

3

x-12），N（x，

4

9

x²-

8

3

x-12）．
①若四边形OMNB为平行四边形，则对边相等：MN=OB=12，（

4

3

x-12）-（

4

9

x²-

8

3

x-12）=12，根据△＜0可以推知不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形．
②利用“分割法”得到：S_{四边形CBNA}=S_△ACB+S_△ABN=72+S_△ABN，S_△AOB=54，S_△OBN=6x，S_△OAN=

1

2

•9•|y_N|=-2x²+12x+54，则
S_△ABN=S_△OBN+S_△OAN-S_△AOB=-2（x-

9

2

）²+

81

2

，所以由二次函数图象的性质求得当x=

9

2

时，S_△ABN 最大值=

81

2

，所以S_{四边形CBNA最大}=

225

2

．

解答：

（1）因抛物线过x轴上两点A（9，0），C（-3，0）
故设抛物线解析式为：y=a（x+3）（x-9）（a≠0）．
又∵B（0，-12）
∴-12=-27a
∴a=

4

9

y=

4

9

（x+3）（x-9）=

4

9

x²-

8

3

x-12；

（2）如图1，∵B（0，-12），A（9，0），
∴OB=12，OA=9，
∴由勾股定理得到：AB=

122+92

=15．
AP=2t，AQ=15-t，易求AC=12，
∴0≤t≤6
∵△APQ∽△AOB，则

AP

AO

=

AQ

AB

，即

2t

9

=

15-t

15

，
，解得，t=

45

13

．
∴当t=

45

13

时，△APQ∽△AOB；

（3）如图2，设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）．
∵B（0，-12），A（9，0），
∴

b=-12

0=9x+b

，
解得，

k=

4

3

b=-12

，
则直线AB的函数关系式为y=

4

3

x-12．
设点M的横坐标为x，则M（x，

4

3

x-12），N（x，

4

9

x²-

8

3

x-12）．
①若四边形OMNB为平行四边形，则MN=OB=12
∴（

4

3

x-12）-（

4

9

x²-

8

3

x-12）=12

即x²-9x+27=0
∵△＜0，∴此方程无实数根，
∴不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形．
②∵S_{四边形CBNA}=S_△ACB+S_△ABN=72+S_△ABN
∵S_△AOB=54，S_△OBN=6x，S_△OAN=

1

2

•9•|y_N|=-2x²+12x+54
∴S_△ABN=S_△OBN+S_△OAN-S_△AOB=6x+（-2x²+12x+54）-54
=-2x²+18x=-2（x-

9

2

）²+

81

2

∴当x=

9

2

时，S_△ABN 最大值=

81

2

此时M（

9

2

，-6），
S_{四边形CBNA最大}=

225

2

．

点评：本题考查了二次函数综合题．用待定系数法求函数的解析式时要灵活地根据已知条件选择配方法和公式法．求抛物线的最值的方法是配方法．

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