Question

3．如图1，已知点A，B是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）图象上的任意两点，过点A，B作直线交y轴于点C，交x轴于点D．

（1）过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥y轴于点E，连接EF，请说明：①EF∥AB；②AC=BD；
（2）如图2，若点M（-1，1），点A，B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）图象上，且MA=MB，则△MCD是等腰直角三角形，请说明理由．
（3）接问题（2），取CD的中点N，则对任意等腰△MAB，中点N必在一条直线上，请简要说明理由，并直接写出这条直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）①设A（a，$\frac{k}{a}$），B（b，$\frac{k}{b}$），用a，b表示出 $\frac{GF}{AG}$与 $\frac{GE}{GB}$的值，故可得出△EGF∽△AGB，所以∠GEF=∠ABG，由此可得出EF∥AB；
②由①可得出四边形ACEF是平行四边形，故AC=EF，同理可得出结论；
（2）过点M作MP⊥x轴于点P，MQ⊥y轴于点Q，根据M点的坐标可知MA=MB，再由SAS定理可得出，△ACM≌△BDM（SAS），故MC=MD．由HL定理得出△CMQ≌△DMP，故∠MCQ=∠MDP，再根据∠CDO+∠DCO=90°可得出CDM+∠MCD=90°，即∠CMD=90°，由此可得出结论；
（3）根据双曲线是以直线y=x为对称轴的轴对称图形，当点M在原点的时候，对于任意等腰△MAB，其中点N必在直线y=x上，当点M不在原点时，其中点N也必在一条定直线上，再由M点的坐标即可得出结论．

解答 解：（1）①如图1，设A（a，$\frac{k}{a}$），B（b，$\frac{k}{b}$），则AG=$\frac{k}{a}$-$\frac{k}{b}$，GF=$\frac{k}{b}$，GE=a，BG=b-a
∵$\frac{GF}{AG}$=$\frac{k}{b}$：（$\frac{k}{a}$-$\frac{k}{b}$）=$\frac{a}{b-a}$，$\frac{GE}{GB}$=$\frac{a}{b-a}$，
∴$\frac{GF}{AG}$=$\frac{GE}{GB}$．
又∵∠EGF=∠AGB=90°，
∴△EGF∽△AGB，
∴∠GEF=∠ABG，
∴EF∥AB；
②∵EF∥AB，CE∥AF，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴AC=EF，
同理：BD=EF，
∴AC=BD；

（2）如图2，过点M作MP⊥x轴于点P，MQ⊥y轴于点Q，
∴MA=MB，
∴∠MAB=∠MBA，
∴∠MAC=∠MBD．
在△ACM与△BDM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}AC=BD\\∠MAC=∠MBD\\ MA=MB\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BDM（SAS）
∴MC=MD．
∵M（-1，1），
∴MP=MQ．
在△CMQ与△DMP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}MC=MD\\ MP=MD\end{array}\right.$，
∴△CMQ≌△DMP（HL），
∴∠MCQ=∠MDP，
∵∠CDO+∠DCO=90°，
∴∠CDM+∠MDP+∠MCD-∠MCQ=90°，
∴∠CDM+∠MCD=90°，即∠CMD=90°，
∴△MCD是等腰直角三角形；

（3）∵双曲线是以直线y=x为对称轴的轴对称图形，
∴当点M在原点的时候，对于任意等腰△MAB，其中点N必在直线y=x上，当点M不在原点时，其中点N也必在一条定直线上．
∴此直线平行于直线y=x且必过点M，
∴这条直线是：y=x+1．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，难度较大．