Question

14．如图，等边△ABC内接于⊙O，BE与⊙O相切于点B，AE⊥BE，⊙O的半径为10，求AE的长．

Answer 1

分析 如图所示：连接OA、OB，过点O作OD⊥AE，垂足为D，先证明四边形OBED是正方形，从而得到ED=OB=6，∠BOD=90°，然后证明∠AOB=120°，从而得到∠DOA=30°于是得到DA=$\frac{1}{2}AO=3$．

解答 解：如图所示：连接OA、OB，过点O作OD⊥AE，垂足为D．

∵BE是圆O的切线，
∴OB⊥BE．
又∵AE⊥BE，OD⊥AE，
∴四边形OBED是矩形．
又∵OD=OB，
∴四边形OBED是正方形．
∴ED=OB=6，∠BOD=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°．
∴∠AOB=120°．
∴∠DOA=30°．
∵在Rt△DAO中，∠DOA=30°，
∴DA=$\frac{1}{2}AO=3$．
∴AE=DE+DA=6+3=9．

点评 本题主要考查的是切线的性质、正方形的判定、等边三角形的性质、圆周角定理，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．