Question

4．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且AD⊥AB，求证：BC=AB+CD．

Answer 1

分析 在BC上取点F，使BF=BA，连接PF，由角平分线的性质可以得出∠ABP=∠FBP，从而可以得出△ABP≌△FBP，可以得出∠A=∠BFP，进而可以得出△CDP≌△CFP，就可以得出CD=CF，即可得出结论．

解答 解：在BC上取点F，使BF=BA，连接PF，

∵BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠ABP=∠FBP，∠DCP=∠FCP．
在△ABP和△FBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=FB}\\{∠ABP=∠FBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△FBP（SAS），
∴∠A=∠BFP．
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠BFP+∠D=180．
∵∠BFP+∠CFP=180°，
∴∠CFP=∠D．
在△CDE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFP=∠D}\\{∠FCP=∠DCP}\\{CP=CP}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△CFP（AAS），
∴CF=CD．
∵BC=BF+CF，
∴BC=AB+CD．

点评 本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是关键．