Question

5．如图，⊙O的弦AB，CD的延长线相交于点Q，AD，CB相交于点P，试探索∠APC及∠Q的度数分别与$\widehat{AC}$和$\widehat{BD}$的度数有怎样的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 由三角形的外角性质得出∠APC=∠ABC+∠BAD，即可得出结果；由三角形的外角性质和圆周角定理得出∠Q=∠ADC-∠BAD，即可得出结果．

解答 解：∠APC=$\frac{1}{2}$（$\widehat{AC}$+$\widehat{BD}$）的度数，∠Q=$\frac{1}{2}$（$\widehat{AC}$-$\widehat{BD}$）的度数．理由如下：
∵∠APC=∠ABC+∠BAD=∠ABC=$\frac{1}{2}\widehat{AC}$的度数+$\frac{1}{2}$$\widehat{BD}$的度数，
∴∠APC=$\frac{1}{2}$（$\widehat{AC}$+$\widehat{BD}$）的度数；
∵∠ADC=∠Q+∠BAD，
∴∠Q=∠ADC-∠BAD═$\frac{1}{2}\widehat{AC}$的度数-$\frac{1}{2}$$\widehat{BD}$的度数，
∴∠Q=$\frac{1}{2}$（$\widehat{AC}$-$\widehat{BD}$）的度数．

点评 本题考查了圆周角定理、三角形的外角性质；熟练掌握圆周角定理和三角形的外角性质是解决问题的关键．