Question

20．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a$（a≥2\sqrt{3}r）$的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　）

• A． $（3\sqrt{3}-π）{r^2}$
• B． $\frac{{（3\sqrt{3}-π）}}{3}{r^2}$
• C． $\frac{π}{3}{r^2}$
• D． πr²

Answer 1

分析 过圆形纸片的圆心O₁作两边的垂线，垂足分别为D，E，连AO₁，则在Rt△ADO₁中，可求得AD=$\sqrt{3}$r．四边形ADO₁E的面积等于三角形ADO₁的面积的2倍，还可求出扇形O₁DE的面积，所求面积等于四边形ADO₁E的面积减去扇形O₁DE的面积的三倍．

解答 解：如图，当圆形纸片运动到与∠A的两边相切的位置时，
过圆形纸片的圆心O₁作两边的垂线，垂足分别为D，E，
连AO₁，则Rt△ADO₁中，∠O₁AD=30°，O₁D=r，AD=$\sqrt{3}$r．
则S_△ADO1=$\frac{1}{2}$O₁D•AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r²，S_{四边形ADO1E}=2S_△ADO1=$\sqrt{3}$r²．
∵由题意，∠DO₁E=120°，得S_扇形O1DE=$\frac{π}{3}$r²，
∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为3（$\sqrt{3}$r²-$\frac{π}{3}$r²）=（3$\sqrt{3}$-π）r²．
故选：A．

点评 本题考查了轨迹，扇形面积的计算、等边三角形的性质和切线的性质，求出四边形ADO₁E的面积与扇形O₁DE的面积是解题的关键．