Question

6．如图，一次函数y=x+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于点A（2，m），与x轴、y轴分别交于B、C两点，C点坐标为（0，-1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点A作AP⊥AB，交反比例函数图象于点P，连接OP，求四边形OPAB的面积．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决．
（2）如图连接PB，求出直线AP，通过解方程组求出直线PA与双曲线的交点P的坐标，根据S_{四边形OPAB}=S_△POB+S_△APB即可计算．

解答 解：（1）∵一次函数y=x+b与y轴交于点C（0，-1），
∴b=-1，
∵点A（2，m）在直线y=x-1上，
∴m=2-1=1，
把点A（2，1）代入y=$\frac{k}{x}$得k=2，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$，
（2）如图连接PB，
设直线AP为y=-x+b′，A（2，1）代入得b′=3，
∴直线AP为y=-x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴的P坐标（1，2）
∴PA=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2}$
∴S_{四边形OPAB}=S_△POB+S_△APB=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的图象的交点，四边形面积问题，解题的关键是利用两条直线垂直K₁•K₂=-1，求出直线PA，熟练掌握两个函数图象的交点可以利用方程组解决，学会分割法求四边形面积，属于中考常考题型．