Question

8．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，DF⊥EC于点F，连结AF，则下列四个结论：
①△EDF∽△ECD；②AF平分∠EAC；③AF：AB=$\sqrt{2}$：$\sqrt{5}$；④S_△AFC=4S_△AEF；
其中，正确的是①③④（请将正确结论的序号填在横线上）．

Answer 1

分析 ①正确，可以根据AA进行证明，②错误．先证明△AEF∽△CEA得∠EAF=∠ACE，通过计算发现AF≠FC即∠FAC≠∠FCA，由此可以作出判断．③正确．求出AF，即可解决问题．④正确，只要证明FC=4EF即可．

解答 解：设正方形ABCD边长为2a，则AE=ED=a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2a，∠ADC=90°，
∵DF⊥EC，
∴∠EDC=∠EFD=90°，
∵∠DEF=∠DEC，
∴△EDF∽△ECD，故①正确；
∴$\frac{ED}{EC}$=$\frac{DF}{CD}$=$\frac{EF}{ED}$，
∴$\frac{a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{DF}{2a}$=$\frac{EF}{a}$，DE²=EF•EC，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，DF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
FC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a，
∴FC=4EF，
∴S_△AFC=4S_△AEF，故④正确；
∴AE²=EF•EC，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{EC}{AE}$，∵∠AEF=∠AEC，
∴△AEF∽△CEA，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{EF}{AE}$，∠EAF=∠ACE，
∴$\frac{AF}{2\sqrt{2}a}$=$\frac{a}{\sqrt{5}a}$，
∴AF=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$a，
∴AF≠FC，
∴∠FAC≠∠FCA，
∴∠EAF≠∠FAC，故②错误；
∴AF：AB=$\frac{2\sqrt{10}}{5}a$：2a=$\sqrt{10}$：5=$\sqrt{2}$：$\sqrt{5}$，故③正确．
故答案为①③④．

点评 本题考查学相似三角形的判定和性质、正方形的性质勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．