如图1.在△ABC中.∠A=30°.点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A-C-B运动.点Q从点A出发以a的速度沿AB运动.P.Q两点同时出发.当某一点运动到点B时.两点同时停止运动．设运动时间为x(s).△APQ的面积为y(cm2).y关于x的函数图象由C1.C2两段组成.如图2所示．(1)求a的值,(2)求图2中图象C2段的函数表达式,(3)当点P运动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A-C-B运动，点Q从点A出发以a（cm/s）的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm²），y关于x的函数图象由C₁，C₂两段组成，如图2所示．

（1）求a的值；
（2）求图2中图象C₂段的函数表达式；
（3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围．

分析（1）作PD⊥AB于D，根据直角三角形的性质得到PD=$\frac{1}{2}$AP=x，根据三角形的面积公式得到函数解析式，代入计算；
（2）根据当x=4时，y=$\frac{4}{3}$，求出sinB，得到图象C₂段的函数表达式；
（3）求出y=$\frac{1}{2}$x²的最大值，根据二次函数的性质计算即可．

解答解：（1）如图1，作PD⊥AB于D，
∵∠A=30°，
∴PD=$\frac{1}{2}$AP=x，
∴y=$\frac{1}{2}$AQ•PD=$\frac{1}{2}$ax²，
由图象可知，当x=1时，y=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×a×1²=$\frac{1}{2}$，
解得，a=1；
（2）如图2，
由（1）知，点Q的速度是1cm/s，
∵AC+BC＜2AB，而点P的速度时2cm/s，所以点P先到达B点，
作PD⊥AB于D，
由图象可知，PB=5×2-2x=10-2x，
PD=PB•sinB=（10-2x）•sinB，
∴y=$\frac{1}{2}$×AQ×PD=$\frac{1}{2}$x×（10-2x）•sinB，
∵当x=4时，y=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$×4×（10-2×4）•sinB=$\frac{4}{3}$，
解得，sinB=$\frac{1}{3}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x×（10-2x）×$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x；
（3）$\frac{1}{2}$x²=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x，
解得，x₁=0，x₂=2，
由图象可知，当x=2时，y=$\frac{1}{2}$x²有最大值，最大值是$\frac{1}{2}$×2²=2，
-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x=2，
解得，x₁=3，x₂=2，
∴当2＜x＜3时，点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积．

点评本题考查的是三角形的面积计算、二次函数的解析式的确定、二次函数的性质，根据图象确定x的运动时间与面积的关系是解题的关键．

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