Question

10．如图，在△ABC中，∠A=60°，点D是AC边上一点，连接BD，将△ABD沿DB折叠至△EBD，连接EC，且BE=AC+CE．
（1）如图1，求证：∠BEC=$\frac{1}{2}$∠DEC；
（2）如图2，当AD=4EC=4时，在BE上取一点M使MD=MC，求BM的长．

Answer 1

分析 （1）延长AC到F，使CF=CE，从而证得△ABF是等边三角形，得出∠F=60°，BE=BF，然后根据SSS证得△BEC≌△BFC，即可求得∠BEC=∠BED=60°=$\frac{1}{2}$∠DEC；
（2）根据余弦定理可以求得DE，EM的大小关系，根据DE，EM的大小关系，可以求得BM的长，即可解题．

解答 （1）证明：延长AC到F，使CF=CE，如图1，
∵BE=AC+CE，
∴BE=AC+CF=AF，
∵△ACD≌△EBD，
∴∠BED=∠A=60°，BE=BA，
∴AB=AF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠F=60°，BF=AB=AF，
∴BE=BF，
在△BEC和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BF}\\{CE=CF}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△BFC（SSS），
∴∠BEC=∠BED=60°=$\frac{1}{2}$∠DEC；
（2）解：延长AC到F，使CF=CE，如图2，
由（1）可知BF=AB=AF，∠BEC=∠BED=60°，
∵DM²=DE²+EM²-2DE•EM•cos60°，
CM²=EC²+EM²-2EC•EM•cos60°，
设DE=x，EM=y，则x²+y²-xy=1+y²-y，
x²-1-（x-1）y=0，
（x-1）（x+1-y）=0，
解得x=1（舍去），y=x+1，
BM=BE-EM=BF-y=BD+4-y=x+4-（x+1）=3．

点评 本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中余弦定理的使用，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．