Question

3．已知抛物线C₁的解析式为y=（x-1）²-1，将C₁沿x轴翻折得抛物线C₂．
（1）抛物线C₂的解析式是：y=-（x-1）²+1；
（2）求抛物线C₂与直线y=x的两个交点坐标；
（3）如图，平移抛物线C₂得抛物线C₃，并且C₃顶点P落在直线y=x上，设C₃与x轴正半轴交于点A、B，当S_△PAB=8时，求抛物线C₃的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线C₁的解析式为y=（x-1）²-1，将C₁沿x轴翻折得抛物线C₂，可以求得抛物线C₂的解析式；
（2）将抛物线的解析式和直线y=x联立在一起即可解答本题；
（3）根据题意可以求出点P的坐标和点A的坐标，从而可以解答本题．

解答 解：（1）∵抛物线C₁的解析式为y=（x-1）²-1，将C₁沿x轴翻折得抛物线C₂，
∴抛物线C₂的解析式是：-y=（x-1）²-1，
即抛物线C₂的解析式是：y=-（x-1）²+1，
故答案为：y=-（x-1）²+1；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-1）^{2}+1}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
即抛物线C₂与直线y=x的两个交点坐标是（0，0），（1，1）；
（3）设点P的坐标为（a，a），
将y=0代入y=-（x-1）²+1，得x=0或x=2，
∴点A的坐标为（2，0），
∴AB的长度为：2（a-2），
∵S_△PAB=8，
∴$\frac{2（a-2）•a}{2}=8$，
解得，a=4或a=2（舍去），
∴点P的坐标为（4，4），点A（2，0），
设抛物线C₃的解析式是y=m（x-4）²+4，
∵点A（2，0）在抛物线C₃的图象上，
∴0=m（2-4）²+4，
解得，m=-1，
∴抛物线C₃的解析式是y=-（x-4）²+4．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点坐标，一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与几何变换，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．