Question

11．有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽20m，拱顶距离水面4m．
（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式；
（2）在正常水位基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），试写出用d表示h的函数解析式；
（3）设正常水位时桥下的水深2m，且桥下水面的宽度不得小于18m才能保证过往船只顺利通行，当水深超过多少米时，会影响过往船只在桥下通行？

Answer 1

分析 （1）如图1，根据已知表示出点B的坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）如图2，表示出点E的坐标（$\frac{d}{2}$，h-4），注意其纵坐标为负数，代入抛物线的解析式即可；
（3）根据水面的宽度不得小于18m，可知抛物线上一点的横坐标大于9时，符合题意，因此将x=9代入，求出y=-3.24，即这时的水深为4-3.24+2=2.76米，得出结论．

解答 解：（1）如图1，设抛物线的解析式为：y=ax²；
由题意得：B（10，-4），
把B（10，-4）代入y=ax²得：100a=-4，
a=-$\frac{1}{25}$，
∴该抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{25}$x²；
（2）如图2，由题意得：E（$\frac{d}{2}$，h-4），
把E（$\frac{d}{2}$，h-4）代入y=-$\frac{1}{25}$x²得：-$\frac{1}{25}$×$（\frac{d}{2}）^{2}$=h-4，
h=-$\frac{1}{100}$d²+4，
所以用d表示h的函数解析式为：h=-$\frac{1}{100}$d²+4；
（3）当x=9时，y=-$\frac{1}{25}$×9²=-3.24，
4-3.24+2=2.76，
答：当水深超过2.76米时，会影响过往船只在桥下通行．

点评 本题考查了二次函数的实际应用，属于隧道问题；此类问题要建立恰当的平面直角坐标系，先求出抛物线的解析式，运用已知条件表示出相应点的坐标，在解题时注意点的坐标特点和线段的长．