Question

14．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，∠C=70°，现给出以下四个结论：
①∠A=40°；
②AC=AB；
③$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$；　
④2CE•AB=BC²，
其中正确结论的序号为①②④．

Answer 1

分析 ①②正确，只要证明△ABC是等腰三角形即可；③错误．假设成立，推出矛盾即可；④正确，只要证明△CED∽△CBA即可．

解答 解：连接AD、BE、ED．

∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵DC=DB，
∴AC=AB，故②正确，
∴∠C=∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=40°，故①正确，
∵∠C=∠C，∠CED=∠ABC，
∴△CED∽△CBA，
∴$\frac{CE}{CB}$=$\frac{CD}{CA}$，
∴CE•CA=CB•CD，
∵AB=AC，CD=$\frac{1}{2}$BC，
∴CE•AB=BC•$\frac{1}{2}$BC，
∴2CE•AB=BC²，故④正确，
不妨设③成立，则，∠EAB=∠EBA=45°，与已知条件矛盾，
∴假设错误，故③错误，
故答案为①②④

点评 本题考查圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，学会添加常用辅助线，学会把证明等积式，转化为证明三角形相似，属于中考常考题型．