Question

20．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点在直线y=x上，将该抛物线沿直线y=x方向平移一定的距离后，再绕顶点旋转180°，最终得到的抛物线y=-3x²-12x-14与原抛物线关于原点中心对称．
（1）求原抛物线的解析式及平移的距离；
（2）若1≤x≤5，求代数式$\frac{1}{a{x}^{2}+bx+c}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）先确定抛物线y=-3x²-12x-14的顶点坐标，然后根据中心对称的性质求得原抛物线的顶点坐标，即可求得解析式；由顶点坐标得出顶点沿x轴的正方向平移2个单位，沿y轴的正方向平移2个单位，从而求得沿直线y=x方向平移的距离．
（2）求得当1≤x≤5时，函数y=3x²-12x+14的最大值，即可求得代数式$\frac{1}{a{x}^{2}+bx+c}$的最小值．

解答 解：（1）∵y=-3x²-12x-14=-3（x+2）²-2，
∴顶点为（-2，-2），
∵抛物线y=-3x²-12x-14与原抛物线关于原点中心对称，
∴原抛物线的顶点为（2，2），
∴原抛物线的解析式为y=3（x-2）²+2，
即y=3x²-12x+14．
由顶点坐标可知，顶点沿x轴的正方向平移2个单位，沿y轴的正方向平移2个单位，
∴沿直线y=x方向平移了4$\sqrt{2}$个单位．
（2）把x=1代入y=3x²-12x+14得，y=5，
把x=5代入y=3x²-12x+14得，y=29，
∴1≤x≤5时，函数y=3x²-12x+14的最大值为29，
∴代数式$\frac{1}{a{x}^{2}+bx+c}$的最小值为$\frac{1}{29}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值以及中心对称的性质，得出顶点坐标是解题的关键．