Question

【题目】已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）填空：写出点D、E的坐标：D，E．

（2）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（3）点G的坐标为（1，0），在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（2，2），E（0，1）；（2）；（3）存在三个满足条件的点Q，使得△PCG是等腰三角形，或或

【解析】

（1）根据OA=2，OC=3，OD平分∠AOC，可得D点坐标，根据三角形全等可求得E点坐标；

（2）已知三点，可用待定系数法求出二次函数解析式；

（3）应当明确△PCG构成等腰三角形有三种情况，逐一讨论求解，要求思维的完备性．

（1）∵OA=2，OC=3，OD平分∠AOC，

∴AD=OA=2，∴D（2,2），

∵DE⊥DC，∴∠ADE+∠BDC=90°，

∵∠BCD+∠BDC=90°，

∴∠ADE =∠BCD ，

在Rt△ADE和Rt△BCD中，

∠A=∠B=90°，AD=BC=2，∠ADE =∠BCD ，

∴△ADE≌△BCD，∴AE=BD=1，

∴OE=1,即E（0，1）．

（2）设过点E、D、C的抛物线的解析式为，

把C（3，0）、D（2，2）、E（0，1）三点坐标代入解析式中得：

解得 ，

故过点E、D、C的抛物线的解析式为，

（3）设P（t，2），又G（1，0），C（3，0）

∴，，GC=2，

有三种情况，分别讨论：

①PG=PC，则，解得t=2．

∴P（2，2），此时点Q与点P重合，即Q（2，2）；

②若PG=GC，则，解得t=1，

∴P（1，2），此时GP⊥x轴，GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，

代入抛物线解析式可得Q（1，）；

③若PC=GC，则，解得t=3

∴P（3，2），此时PC=GC=2，PCG是等腰直角三角形，

过点Q作QH⊥x轴于点H，

则QH=GH，设QH=h，即Q（h+1，h）

∴，解得或（舍去）．

∴Q（）．

综上所述，存在三个满足条件的点Q，使得△PCG是等腰三角形，

分别是：或或．