Question

15．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD交于E，∠AED=45°，AB=$\sqrt{2}$，则EC²+ED²=1．

Answer 1

分析 连接OD，过点O作OF⊥CD，可得出OF=EF，根据勾股定理得OD²=（DE-EF）²+OF²，OC²=OF²+（CE+EF）²，根据AB=$\sqrt{2}$，得OC=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化简即可得出EC²+ED²的值．

解答 证明：作OF⊥DC，
∵∠AED=45°，
∴OF=EF，
∵OD²=（DE-EF）²+OF²，OC²=OF²+（CE+EF）²，
∴OD²+OC²=OF²+（CE+EF）²+（DE-EF）²+OF²，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=4OF²+CE²+DE²-2EF（DE-CE），
∴1=4OF²+CE²+DE²-2EF×2EF，
∴CE²+DE²=1．

点评 本题考查了垂径定理和勾股定理，解答此题时，借助于辅助线OF，将隐含在题干中的已知条件OF垂直平分CD显现了出来，从而构建了两个直角三角形：Rt△ODF和Rt△OFC，然后根据勾股定理求得答案．