Question

2．如图，△OAB为等腰直角三角形，斜边OB边在x负半轴上，一次函数y=-$\frac{1}{7}$x+$\frac{4}{7}$与△OAB交于E、D两点，与x轴交于C点，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象的一支过E点，若S_△AED=S_△DOC，则k的值为（　　）

• A． -$\frac{6}{7}$
• B． -$\sqrt{3}$
• C． -3
• D． -4

Answer 1

分析 作EF⊥OB于F，AG⊥OB于G，设E（m，n），则OF=-m，EF=n，由于△OAB为等腰直角三角形，从而证得EF=BF=n，OB=-m+n，AG=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$（-m+n），根据直线的解析式求得C的坐标，即可求得BC=-m+n+4，由S_△AED=S_△DOC得出S_△EBC=S_△ABO，从而得出$\frac{1}{2}$（-m+n）•$\frac{1}{2}$（-m+n）=$\frac{1}{2}$（-m+n+4）•n，整理得m²=n²+8n，由点E是直线y=-$\frac{1}{7}$x+$\frac{4}{7}$上的点，得出m=4-7n，代入m²=n²+8n化简得，3n²-4n+1=0，从而解得n=1，进而求得m=-3，得出E的坐标，代入反比例函数的解析式即可求得k的值．

解答 解：如图，作EF⊥OB于F，AG⊥OB于G，
设E（m，n），
∴OF=-m，EF=n，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∵EF⊥OB，
∴EF=BF=n，
∴OB=-m+n，
∴AG=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$（-m+n），
∵一次函数y=-$\frac{1}{7}$x+$\frac{4}{7}$与x轴交于C点，
∴C（4，0），
∴BC=-m+n+4，
∵S_△AED=S_△DOC，
∴S_△EBC=S_△ABO，
∴$\frac{1}{2}$OB•AG=$\frac{1}{2}$BC•EF，即$\frac{1}{2}$（-m+n）•$\frac{1}{2}$（-m+n）=$\frac{1}{2}$（-m+n+4）•n，
整理得，m²=n²+8n，
∵点E是直线y=-$\frac{1}{7}$x+$\frac{4}{7}$上的点，
∴n=-$\frac{1}{7}$m+$\frac{4}{7}$，得出m=4-7n，
代入m²=n²+8n化简得，3n²-4n+1=0
解得n=1或n=$\frac{1}{3}$，
∴m=-3或m=4-$\frac{7}{3}$＞0（舍去），
∴E（-3，1），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象过E点，
∴k=mn=-3．
故选C．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，等腰直角三角形的性质，三角形面积，函数图象上点的坐标特征等，能够看出S_△EBC=S_△ABO是解题的关键．