Question

9．如图，正方形ABCD中，CD=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．
（1）求证：①△ABG≌△AFG； ②求GC的长；
（2）求△FGC的面积．

Answer 1

分析 （1）①利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；
②利用勾股定理得出GE²=CG²+CE²，进而求出BG即可；
（2）首先过C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面积法得，CM=2.4，进而得出答案

解答 解：（1）①在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}AG=AG\\ AB=AF\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
②∵CD=3DE
∴DE=2，CE=4，
设BG=x，则CG=6-x，GE=x+2
∵GE²=CG²+CE²
∴（x+2）²=（6-x）²+4²，
解得x=3，
∴CG=6-3=3；

（2）如图，过C作CM⊥GF于M，
∵BG=GF=3，
∴CG=3，EC=6-2=4，
∴GE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
CM•GE=GC•EC，
∴CM×5=3×4，
∴CM=2.4，
∴S_△FGC=$\frac{1}{2}$GF×CM=$\frac{1}{2}$×3×2.4=3.6．

点评 此题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．