Question

17．如图，已知菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB于E，设AB=a．求：
（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接BD，由E是AB的中点，且DE⊥AB，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，又由菱形ABCD，可得AB=AD，即可判定△ABD是等边三角形，继而求得答案；
（2）首先由（1）可求得BD的长，再由菱形的性质，求得OB的长，利用勾股定理即可求得OA的长，继而求得答案．

解答 解：（1）连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵E是AB的中点，且DE⊥AB，
∴AD=BD，
∴AD=AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ABC=2∠ABD=120°；

（2）连接AC，交BD于点O，
∵△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$a，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴AC=2OA=$\sqrt{3}$a．

点评 此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注意证得△ABD是等边三角形是关键．