Question

9．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，连接DE、DF，∠EDF+∠BAC=180°．求证：DE=DF．

Answer 1

分析 在AB上截取AG=AF，先证明△AGD≌△AFD，得出∠AGD=∠AFD，DG=DF；再根据角的关系求出∠4=∠3，证出DE=DG，即可得出结论DE=DF．

解答 证明：在AB上截取AG=AF，连接DG，如图所示：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△ADG与△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠1=∠2}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△AFD（SAS）
∴∠AGD=∠AFD，DG=DF
又∵∠AED+∠EDF+∠DFA+∠FAE=360°，∠EDF+∠BAC=180°．
∴∠AED+∠AFD=180°，
又∠4+∠AGD=180°，
∴∠4=∠3，
∴DE=DG，
∴DE=DF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、角的平分线的定义、等腰三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰三角形是解决问题的关键．