Question

5．如图，直线l分别交△ABC的边AB、AC于点p、Q，若$\frac{BP}{AP}$+$\frac{CQ}{AQ}$=1．则直线1必过△ABC的（　　）并给予证明．（A）内心；（B）外心；（C）重心；（D）垂心．

Answer 1

分析 作△ABC的中线AD，分别过B、C作AD的平行线BE、CF交直线l于点E、F，根据平行线分线段成比例定理、梯形中位线定理得到AH=2DH，得到H为△ABC的重心．

解答 证明：作△ABC的中线AD，分别过B、C作AD的平行线BE、CF交直线l于点E、F，
∵BE∥DH∥CF，D是BC的中点，
∴DH=$\frac{1}{2}$（CF+BE），
∵BE∥DH，
∴$\frac{BP}{AP}$=$\frac{BE}{AH}$，
∵DH∥CF，
∴$\frac{CQ}{AQ}$=$\frac{CF}{AH}$，
∵$\frac{BP}{AP}$+$\frac{CQ}{AQ}$=1，
∴$\frac{BE}{AH}$+$\frac{CF}{AH}$=1，
∴CF+BE=AH，
∴AH=2DH，
∴H为△ABC的重心，
故选：C．

点评 本题考查的是三角形的五心的知识，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点、重心到顶点的距离是到中点的距离的2倍是解题的关键，注意辅助线的作法要正确．